Matematica Descomplicada

Números Complexos

Houve um momento na História da Matemática em que a necessidade de expressar a raiz de um número negativo se tornou fundamental. Em equações quadráticas do tipo:

Temos uma fórmula fechada para sua resolução, que é a fórmula para equações de 2º grau:

Onde:

O número Δ é o discriminante da equação e para:

Δ > 0, temos 2 raízes reais;
Δ = 0, temos uma raiz real;
Δ < 0, não temos nenhuma raiz real e aqui que se encontrava o problema: Como expressar a raiz de Δ se Δ < 0? Isso implicaria em dizer que: qual o número elevado ao quadrado resulta um número negativo?

Então, se tivermos a equação:

Vemos que caímos num caso particular em que a fórmula para a equação de 2º grau não encontra raízes reais. Para contornar este problema, Bombelli admitiu que:

Assim, considerando um novo tipo de número.

Leonard Euler (1707 – 1783) usou em 1777 a letra i para representar o número , chamando-o de unidade imaginária, pois i² = -1.

Logo, seria possível encontrar uma solução para a equação:

Fazemos:

Surgiu, assim, um novo tipo de número, chamado por Gauss de Número Complexo, sendo expresso por:

Gauss, por volta de 1800, associou a cada número na forma a + bi um ponto P do plano cartesiano, definido pelo par ordenado (a, b):

[Figura 1]

Conseqüentemente, foi criado um novo conjunto numérico chamado de Conjunto dos Números Complexos e podemos fazer uma representação por diagramas de

Venn:

[Figura 2]

Elementos do Conjunto Complexo

Um número complexo costuma-se ser simbolizado pela letra z. Qualquer elemento de z de C tem a forma:

Sendo:

a a parte Real Re(z)
b a parte Imaginária Im(z)

Oposto de um Número Complexo

O oposto de um número complexo:

É o número complexo:

Igualdade de Números Complexos

Dois números complexos:

São iguais, se, e somente se:

Adição e Subtração de Números Complexos

Dado dois números complexos z₁ = a + bi e z₂ = c + di, temos para a:

Adição:

Subtração:

Conjugado de um Número Complexo

Dado um número complexo z = a + bi, o conjugado de z é denominado por e é dado por:

Notem que:

Mas i² = – 1 , logo:

Multiplicação de Números Complexos

Dados dois números complexos z₁ = a + bi e z₂ = c + di , o produto z₁ . z₂ é dado por:

Mas i² = – 1 , logo:

Divisão de Números Complexos

Dado dois números complexos z₁ = a + bi e z₂ = c + di ≠ 0, o quociente z₁ / z₂ é obtido multiplicando ambos termos pelo conjugado do divisor:

Separando a parte Real da Imaginária, obtemos:

Inverso de um Número Complexo

Dado um número complexo não – nulo z = a + bi, o inverso deste número é dado por:

Ainda podemos escrever z ^{– 1} como:

Potência de i com Expoente Natural

Com relação às potências de i com expoente natural, temos que:

Percebemos que as potências se repetem de 4 em 4. Então, para calcular indicaremos q como quociente e R como resto da divisão de n por 4:

Daqui temos que n = 4q + R. Logo:

Mas , logo:

Portanto, para calcular iⁿ, basta calcular i^R, onde R é o resto da divisão de n por 4.

Plano de Argand – Gauss

Como já foi dito na introdução deste estudo, Gauss associou a cada número z = a + bi, um ponto P do Plano Cartesiano.

A parte Real (Re) do complexo é representada por um ponto no eixo horizontal e este é chamado de Eixo Real.

A parte Imaginária (Im), por sua vez, é representada por um ponto no eixo vertical, chamado de Eixo Imaginário.

O ponto P, correspondente ao número complexo z = a + bi é chamado de imagem ou afixo de z.

A interpretação geométrica dos complexos foi descoberta em 1797 por Caspar Wessel (1745 – 1818), mas somente em 1806, o matemático suíço Jean Robert Argand (1768 – 1822) publicou um artigo sobre a representação gráfica dos números complexos. Gauss já havia concebido tal representação, mas si a publicou 30 anos após a publicação de Wessel. Hoje, o plano dos números complexos é conhecido com Plano de Gauss ou Plano de Argand – Gauss e é representado como:

[Figura 3: Plano de Argand-Gauss]

Módulo e Argumento de um Número Complexo

No Plano de Gauss, a distância da origem até o ponto P é chamada de módulo e representada pó |z|, indicada na figura abaixo pela letra grega ρ (Rô):

[Figura 2: módulo]

Para calcularmos a distância ρ, aplicamos o teorema pitagórico no triângulo Opa:

Algumas propriedades podem ser destacadas:

O ângulo formado pela reta suporte de OP e o Eixo Real é denominado por θ, sendo e é chamado de argumento de z, para z ≠ 0 e indicamos por ARG(z). Podemos escrever: