quinta-feira, 26 de maio de 2011

Números Complexos

Introdução: Um pouco de História

Houve um momento na História da Matemática em que a necessidade de expressar a raiz de um número negativo se tornou fundamental. Em equações quadráticas do tipo:

clip_image002

Temos uma fórmula fechada para sua resolução, que é a fórmula para equações de 2º grau:

clip_image002[4]

Onde:

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O número Δ é o discriminante da equação e para:

  • Δ > 0, temos 2 raízes reais;
  • Δ = 0, temos uma raiz real;
  • Δ < 0, não temos nenhuma raiz real e aqui que se encontrava o problema: Como expressar a raiz de Δ se Δ < 0? Isso implicaria em dizer que: qual o número elevado ao quadrado resulta um número negativo?

Então, se tivermos a equação:

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Vemos que caímos num caso particular em que a fórmula para a equação de 2º grau não encontra raízes reais. Para contornar este problema, Bombelli admitiu que:

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Assim, considerando um novo tipo de número.

Leonard Euler (1707 – 1783) usou em 1777 a letra i para representar o número clip_image002[18], chamando-o de unidade imaginária, pois i2 = -1.

Logo, seria possível encontrar uma solução para a equação:

clip_image002[20]

Fazemos:

clip_image002[22]

Surgiu, assim, um novo tipo de número, chamado por Gauss de Número Complexo, sendo expresso por:

Gauss, por volta de 1800, associou a cada número na forma a + bi um ponto P do plano cartesiano, definido pelo par ordenado (a, b):

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[Figura 1]

Conseqüentemente, foi criado um novo conjunto numérico chamado de Conjunto dos Números Complexos e podemos fazer uma representação por diagramas de

Venn:

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[Figura 2]

Elementos do Conjunto Complexo

Um número complexo costuma-se ser simbolizado pela letra z. Qualquer elemento de z de C tem a forma:

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Sendo:

  • a a parte Real Re(z)
  • b a parte Imaginária Im(z)

Oposto de um Número Complexo

O oposto de um número complexo:

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É o número complexo:

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Igualdade de Números Complexos

Dois números complexos:

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São iguais, se, e somente se:

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Adição e Subtração de Números Complexos

Dado dois números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di, temos para a:

Adição:

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Subtração:

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Conjugado de um Número Complexo

Dado um número complexo z = a + bi, o conjugado de z é denominado por clip_image002[58] e é dado por:

clip_image002[62]

Notem que:

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clip_image002[68]

Mas i2 = – 1 , logo:

clip_image002[70]

Multiplicação de Números Complexos

Dados dois números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di , o produto z1 . z2 é dado por:

clip_image002[72]

clip_image002[74]

Mas i2 = – 1 , logo:

clip_image002[76]

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Divisão de Números Complexos

Dado dois números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di ≠ 0, o quociente z1 / z2 é obtido multiplicando ambos termos pelo conjugado do divisor:

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Separando a parte Real da Imaginária, obtemos:

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Inverso de um Número Complexo

Dado um número complexo não – nulo z = a + bi, o inverso deste número é dado por:

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Ainda podemos escrever z – 1 como:

clip_image002[96]

Potência de i com Expoente Natural

Com relação às potências de i com expoente natural, temos que:

clip_image002[98]

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clip_image002[110]

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Percebemos que as potências se repetem de 4 em 4. Então, para calcular indicaremos q como quociente e R como resto da divisão de n por 4:

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Daqui temos que n = 4q + R. Logo:

clip_image002[120]

clip_image002[122]

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Mas , logo:

clip_image002[126]

Portanto, para calcular in, basta calcular iR, onde R é o resto da divisão de n por 4.

Plano de Argand – Gauss

Como já foi dito na introdução deste estudo, Gauss associou a cada número z = a + bi, um ponto P do Plano Cartesiano.

A parte Real (Re) do complexo é representada por um ponto no eixo horizontal e este é chamado de Eixo Real.

A parte Imaginária (Im), por sua vez, é representada por um ponto no eixo vertical, chamado de Eixo Imaginário.

O ponto P, correspondente ao número complexo z = a + bi é chamado de imagem ou afixo de z.

A interpretação geométrica dos complexos foi descoberta em 1797 por Caspar Wessel (1745 – 1818), mas somente em 1806, o matemático suíço Jean Robert Argand (1768 – 1822) publicou um artigo sobre a representação gráfica dos números complexos. Gauss já havia concebido tal representação, mas si a publicou 30 anos após a publicação de Wessel. Hoje, o plano dos números complexos é conhecido com Plano de Gauss ou Plano de Argand – Gauss e é representado como:

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[Figura 3: Plano de Argand-Gauss]

Módulo e Argumento de um Número Complexo

No Plano de Gauss, a distância da origem até o ponto P é chamada de módulo e representada pó |z|, indicada na figura abaixo pela letra grega ρ (Rô):

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[Figura 2: módulo]

Para calcularmos a distância ρ, aplicamos o teorema pitagórico no triângulo Opa:

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Algumas propriedades podem ser destacadas:

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clip_image002[138]

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O ângulo formado pela reta suporte de OP e o Eixo Real é denominado por θ, sendo clip_image002[144] e é chamado de argumento de z, para z ≠ 0 e indicamos por ARG(z). Podemos escrever:

clip_image002[146]

Tomando o triângulo retângulo Opa da figura 1, temos:

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[Figura 5: triângulo retângulo]

Daqui obtemos as relações:

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Forma Trigonométrica ou Polar dos Números Complexos

Seja o número complexo em sua forma algébrica z = a + bi, sendo z ≠ 0. Das relações trigonométricas observadas na figura 3, temos que:

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Se substituirmos essas relações na forma algébrica de z obteremos:

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A forma polar de z é muito útil para efetuarmos potenciação e radiciação de números complexos.

Produto de Números Complexos na Forma Polar

Dados os números complexos em sua forma polar:

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O produto entre z1 e z2 é dado por:

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Mas, sabemos que:

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e

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[Veja aqui as demonstrações da Soma e Subtração de arcos]

Logo:

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Por indução temos que:

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Divisão de Números Complexos na Forma Polar

Dados os números complexos em sua forma polar:

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A divisão entre z1 e z2 é dada por:

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Vamos fazer, separadamente, as multiplicações do numerador e denominador da equação (1):

Numerador:

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Denominador:

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Pela relação trigonométrica fundamental, temos que:

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Logo:

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Substituímos, agora, (2) e (3) em (1) e obtemos:

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Potenciação de Números Complexos na Forma Polar - (Primeira Fórmula de De Moivre)

Dado um número complexo não-nulo em sua forma polar clip_image002[71] e um número clip_image002[73] . A n-ésima potência de z será dada por:

clip_image002[75]

Para maiores detalhes consulte a demonstração da Primeira Fórmula de De Moivre aqui.

Radiciação de Números Complexos na Forma Polar - (Segunda Fórmula de De Moivre)

Dado um número complexo não-nulo em sua forma polar clip_image002[77]. A n-ésima raiz de z será dada por:

clip_image002[79]

Para maiores detalhes consulte a demonstração da Primeira Fórmula de De Moivre aqui.

(Baricentro da mente)

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